Arcotangente, arcoseno und arcocoseno: le funzioni goniometriche inverse Daten una funzione f, sappiamo che in certi casi egrave möglichkeiten determinare la funzione inversa f. (F) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) Es wird angenommen, Purtroppo, perograve, nicht sempre egrave possibile determinare la funzione inversa di una funzione f arbitraria. La situazione piugrave problematica si incontra quando la funzione insektizitas nicht egrave iniettiva: tentando di invertire una funzione nicht iniettiva, infatti, si finisce a betrachten una relazione che non egrave nemmeno una funzione Fragen Sie uns in effetti la situazione in cui ci troviamo quando tentiamo di invertire (X), quad cos (x), quad tan (x), quad cot (x) Le funzioni goniometriche elementar, ovvero le funzioni sin (x), quad cos (x), die in der Lage ist, Cui lrsquoequazione goniometrica elementare Sünde (x) frac egrave verificata, kommen x frac 2kpi al variare di k in mathbb. Kommen Sie in die Suche nach dem Spiel Riflettendo un momento, ci rendiamo conto che il problema di fondo egrave Suche nach: in den letzten Tagen in den letzten Tagen in den letzten Tagen! In der altre parole, lrsquoinsieme f (b) con f nicht iniettiva egrave costituito da piugrave di un elemento, e affincheacute f sia una funzione bisogna avere ein che fare con insiemi f (b) costituiti da un solo elemento. Pro ogni scelta di b. Nel casa di una funzione goniometrica elementare g, la situazione egrave addirittura ldquopatologicardquo: g (b) egrave semper costituito da infiniti elementi, pro ogni scelta di b nel codominio di g. Iniziamo ein capire kommen invertire la funzione sin (x). Questa funzione associa eine un valore in mathbb un numero nellrsquointervallo -1, 1 quindi la funzione inversa che vogliamo definire dovragrave associare ein un numero in -1, 1 un unico numero in mathbb. Kommen Sie facciamo ein sceglierlo Di solito, si usa la seguente definizione. (X), definita in questo modo: arcsin: -1, 1 rightarrow links - frac, frac rechts In der altre parole, alpha arcsin (t) egrave quellrsquoangolo compreso tra-frac e frac che soddisfa La relazione sin (alpha) t. Lrsquointervallo links - Frac, frac rechts egrave stato scelto apposta in modo tale Che lrsquoangolo alpha il cui seno sia t sia unico (Questo si verifica Hilfsmittel osservando la circonferenza goniometrica). Potevamo sicuramente scegliere altri intervalli (komm per esempio links frac, frac rechts) ma in genere si sceglie lrsquointervallo indicato nella definizione. Unrsquoaltra notazione in uso per la funzione arcsin (x) egrave sin (x), utilizzata di solito für sottolineare che tale funzione ehrfürchtigen proprio lrsquoinversa della funzione seno. (X): Chiamiamo arcocoseno la funzione definita comearccos: -1, 1 rightarrow links 0, pi rechtsgeschichte pro cui alpha arccos (t) egrave quellrsquoangolo compreso tra 0 e Pi che soddisfa la relazione cos (alpha) t. Anche in questo caso la scina del codominio dellrsquoarcocoseno egrave del tutto arbitraria, ma pro convenzione si sceglie lrsquointervallo links 0, pi rechts. Una notazione alternativa in uso pro la funzione arccos (x) egrave cos (x) (similmente ein Quanto für die Arbeit). Per türkis (x) prozessionen nella stessa maniera seguita prima. Sappiamo che esistono infiniti angoli che hanno tangente pari a t, taube t in mathbb. Dobbiamo allora restringere il il io io io inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv inv................, Chiamiamo arcotangente la funzione arctan: mathbb rightarrow links (-frac, frac rechts) tale che alpha arktan (t) sia quellrsquoangolo compreso tra - frac und frac che soddisfa la relazione tan (alpha) t. Di nuovo, segnaliamo che esiste la notazione alternativa tan (x) per questa funzione. Infine, invertiamo la funzione Kinderbett (x): Chiamiamo arcocotangente la funzione text: mathbb rightarrow links (0, pi rechts) tale nach cui alpha text (t) zitat antworten Kinderbett (x). Kinderbett (x). Kinderbett (x). Sekaliamo inoltre che egrave in uso anche unrsquoaltra convenzione secondo la quale la funzione Text (x) ha kommen codominio links (-frac, 0 rechts) Tasse links (0, frac rechts anzicheacute (0, pi). Ecco qui di seguito il suo grafico : Le due definizioni sono quindi molto vielfältig: nel primo caso text (x) egrave continua e derivabile e nel secondo caso n n n primo caso text (x) rispetta lrsquouguaglianza arctan (x) text (x) frac nel sekundäres caso invece viene rispettata Lrsquouguaglianza Text (x) arctan links (frac rechts), qquad x neq 0. Eine zweite Variante, die in der Lage ist, eine Vielzahl von Sorten, die in der Lage sind, Codominio di una funzione goniometrica inversa nicht egrave assolutamente da considerare kommen una questione secondaria Ricapitoliamo quanto definitio fino ad ado Anzeigen, die Sie interessieren könnten: Arcsin (x)) x. La funzione arccos ha dominio -1, 1 e codominio links 0, pi rechts, ed egrave la funzione Geschichte pro cui cos (arccos (x)) x. (Arctan (x)) x (arc), die sich aus der Gruppe der arctan ha-dominio - La funzione Text ha dominio mathbb e codominio links (0, pi rechts) (links links (-frac, 0 rechts) Tasse links (0, frac rechts), ed egrave la funzione Geschichte pro cui Kinderbett (Text) x. Le funzioni goniometriche (Arcos (x) arccos (x) frac amparctan (x) arctan links (frac rechts) text (x) cdot frac amp sünde links (arccos (x) arcos (x) (Arcsin (x) rechts) links links (arcsin (x) rechts) links links (arcsin (x) rechts) (Arctan (x) rechts) frac Ende (links) (links) (arctan (x) rechts) frac amp cos links (arctan (x) rechts) X egrave positivo.5 Funzioni trigonometriche e loro inverse Consideriamo nel Klavier un punto O e durch semirette r ed - r 8216 uscenti da o. Si definisce ANGOLO ciascuno dei durch sottoinsiemi in cui resta diviso il Klavier. Le semirette r ed r8217 si dico lati dell8217angolo il punto O si dice vertice. Se r r8217 uno dei wegen sottoinsiemi vuoto, l8217altro si Würfel angolo giro. Misura degli angoli Si pone la misura in der gradi sessagesimali dell8217 ANGOLO GIRO uguale eine 360 (300 gradi). Di conseguenza si ha ANGOLO PIATTO (mit dell8217angolo giro) misura 180 ANGOLO RETTO (dell8217angolo giro) miaura 90 Überprüfen Sie die Circonferenza di centro il punto O e raggio 1 (circonferenza unitaria). Si chiama misura in radianti dell8217angolo lunghezza dell8217arco di circonferenza unitaria intercettato dalle fällig semi rette e interno all8217angolo. (2) (1) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) Circonfermenta goniometrica (circonferenza goniometrica) ). Sia il punto di intersezione della circonferenza goniometrica con il halb asse positivo delle ascisse. Immaginando di percorrere la circonferenza goniometrica a partire dal punto A nel verso antiorario (verso positivo), ad ogni nummero reale t0 mögliches assoziiertes in der maniera univoca il punto Das ist die automatische Übersetzung des Originaltextes. Das ist der englische Originaltext. Hier ist die automatische deutsche Übersetzung. Corrispondentemente, ad ogni tlt0 si pu assoziiert il punto P 1 percorrendo un cammino di lungenhezza t nel verso orario (verso negativo). OSSERVAZIONE 1: Se il punto Pt tale che l8217anglo ha la misura in radianti pari a t. OSSERVAZIONE 2: L8217applicazione che ad ogni assoziiert il punto P t sulla circonferenza goniometrica nicht biunivoca. Ad esempio P 0 P 2 e, pi generale, per ogni vale Possiamo allora definire le funzioni seno e coseno kommen Funzioni seno e coseno Il dominio della funzione sen t. Il codominio l8217intervallo -1, 1. sen t sen (t 2k) t, k cio s en t periodica di periodo 2. Sen (-t) - sen t, t cio sen t una funzione dispari. Sen t strettamente crescente negli intervalli del tippo strettamente decrescente negli intrvalli del tipo Sie haben keine Artikel im Warenkorb. Il codominio l8217intervallo -1, 1. cos t cos (t 2k) t, k cio cos t Periodica di Periodo 2. cos (-t) cos t, t cio cos t una funzione pari. Cos t strettamente crescente negli intervalli del tippo strettamente decrescente negli intrvalli del tipo Auf den Merkzettel Auf den Merkzettel Auf den Merkzettel Propriet di seno e coseno Beschreibung des Besitzers: Beschreibung des Besitzers 2, 3, 4 possono essere verificate in figura. Propriet di seno e coseno Alcuni valori di seno e coseno Nella figura sono riportati i valori di sen t e cos t von alcuni valori di. Ich valori in der tabella si ottengono utilizzando il teorema di Pitagora. Es gibt keine Anzeigen, die Sie interessieren könnten: 1, quindi si ha Dalle propriet 2, 3 e 4 si possono ottenere valori di sen te cos t per alcuni valori di di ti di tenzi di tenzi di tenzi ti ti ti ti tiiiiiiiiiiii In dem es sich um einen Posten handelt, Tg t rappresenta l8217ordinata del punto R intersezione tra la retta parallela aIl8217asse delle ordinate e passante für M (1. 0) e la retta passante für O e P t (vedi gura). Infanti, dalla similitudine dei triangoli OP t Q e ORM. Se si ha Funzione tangente Sie haben keine Artikel auf Ihrer Wunschliste. tg t strettamente crescente in ogni intervallo del tipo Definizione di funzione cotangente Si denisoe la funzione cotangente kommen Poich sen t 0 pro t k k, k la t e definita funzione COTG in Geometricamente, se P t il punto sulla circonferenza geometrica corrispondente al numero reale t. Cotg t rappresenta l8217ascissa del punto S di sezione tra la retta parallela alle8217asse delle ascifse passante für N (0, 1) e la retta passante für O e P t. Funzione cotangente Periodensystem Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Periodensysteme Perioden Cotg t strettamente decrescene in ogni imervallo del tippo k, k, k. Formule di Addizione, duplicazione, bisezione FORMULE DI Addizione Valgono le seguenti Formule che esprimono il seno e il coseno di un angolo Somma Medi il seno e coseno degli angoli addendi Per x 1 x 2 x da 1 e 3 si ottengono le FORMULE DI DUPLICAZIONE 5 sen. (2x) 2sen x cos x 6. cos (2x) cos 2 x 8211 sen2x 1 8211 2sen 2 x 2cos 2 x -1 Da 5. e 6. ponendo 2 xy si ottengono le Formule di Werner Le Formule di Addizione e Sottrazione permettono di scrivere il prodotto di funzioni seno e coseno in termini della somma. Ad esempio sommando membro a membro la 1. e la 2. si ottiene la 9. Formule di prostaferesi Die Formulierung von Werner Permettono di Scrivere la somma di funzioni seno e coseno kommen prodotto. Basta porre in 9. 10. 11. 11. 13. 12. 12. 13. 13. 12. 13. 12. 12. 13. 12. 12. 12. 13. 12. 12. 12. 12. 12. 13. 12. 12. 12. 12. 13. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 8. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 12. 10.. Cos x e tg x nicht sono biunivoche in, quindi non sono invertibili. Mögliche Kostenvoranschlagsvorbehalt in modo tale che le funzioni ottenute risultino biunivoche e se ne possa costruire l8217 inversa. La funzione sen x strettamente crescente in quindi la sua restrizione eine Geschichte intervallo risulta biunivoca ed ha kommen codominio l8217intervallo -1, 1. Si pu definire quindi la funzione inversa, I8217 arcoseno: La funzione cos x strettamente decrescente in O, quindi la sua restrizione eine Geschichte intervallo risulta biunivoca ed ha kommen codominio l8217intervallo -1, 1. Si pu denire quindi la funzione inversa, l8217 arcocoseno: Funzione arcoseno Il graco di arcosen x si ottiene da quello di (sen x ristretta all8217intervallo pro simmetria rispetto alla retta yx ). La funzione arcsen x strettamente crescente in -1, 1 poich strettamente crescente. Il codominio biunivoca. Funzione arcoseno Funzione arcocoseno Gänseblümchen und Gänseblümchen. Gänseblümchen und Gänseblümchen. La funzione arccos x strettamente decrescente in -1, 1 poich la strettamente decrescente. Il codominio biunivoca. Funzione arcocoseno Funzione arcotangente La funzione tg x strettamente crescente nell8217intervallo La sua restrizione eine Geschichte intervallo, quindi, biunivoca ed ha kommen codominio Si puo definire allora la funzione unversa di (tg x ristretta ristretta all8217intervallo), l8217 arcotangente: Il grafico di acrtg x si Ottiene da quello di per simmetria rispetto alla retta yx. La funzione arctg x Strettamente Crescente in Barsch in funkelnden Tg x Ristretta a Strettamente crescente. Il codominio arctg x biunivoca. Funzione arcotangente Funzione arcocotangente
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