Was ist Chebyshevs Ungleichheit Von Courtney Taylor. Chebyshevs Ungleichung sagt, dass mindestens 1-1 K 2 von Daten aus einer Probe in K Standardabweichungen vom Mittelwert (hier K ist jede positive reelle Zahl größer als eins) fallen muss. Jeder Datensatz, der normalerweise verteilt ist, oder in der Form einer Glockenkurve. Hat mehrere Funktionen. Einer von ihnen befasst sich mit der Ausbreitung der Daten relativ zur Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert. In einer Normalverteilung. Wir wissen, dass 68 der Daten eine Standardabweichung vom Mittelwert, 95 zwei Standardabweichungen vom Mittelwert und ungefähr 99 innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert ist. Lesen Sie weiter unten, aber wenn der Datensatz nicht in Form einer Glockenkurve verteilt ist, dann könnte ein anderer Betrag innerhalb einer Standardabweichung liegen. Chebyshevs Ungleichung bietet eine Möglichkeit zu wissen, welcher Bruchteil der Daten in K Standardabweichungen vom Mittelwert für jeden Datensatz fällt. Fakten über die Ungleichung Wir können auch die Ungleichung oben angeben, indem wir die Phrasendaten aus einer Stichprobe mit Wahrscheinlichkeitsverteilung ersetzen. Denn Chebyshevs Ungleichung ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeit, die dann auf die Statistik angewendet werden kann. Es ist wichtig zu beachten, dass diese Ungleichung ein Ergebnis ist, das mathematisch nachgewiesen wurde. Es ist nicht wie die empirische Beziehung zwischen dem Mittelwert und dem Modus oder der Faustregel, die den Bereich und die Standardabweichung verbindet. Darstellung der Ungleichung Um die Ungleichung zu veranschaulichen, werden wir sie für einige Werte von K betrachten: Für K 61 2 haben wir 1 1 K 2 61 1 - 14 61 34 61 75. Die Tschebyshevs-Ungleichung besagt, dass mindestens 75% Müssen die Datenwerte einer Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen des Mittelwerts liegen. Lesen Sie weiter Für K 61 3 haben wir 1 1 K 2 61 1 - 19 61 89 61 89. Die Tschebyshevs-Ungleichung besagt, dass mindestens 89 der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von drei Standardabweichungen des Mittelwerts liegen müssen. Für K 61 4 haben wir 1 1 K 2 61 1 - 116 61 1516 61 93,75. So sagt die Tschebyscheffsche Ungleichung, daß mindestens 93,75 der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen des Mittelwerts liegen müssen. Angenommen wir haben die Gewichte von Hunden im örtlichen Tierheim untersucht und festgestellt, dass unsere Stichprobe durchschnittlich 20 Pfund mit einer Standardabweichung von 3 Pfund hat. Mit der Verwendung von Chebyshevs Ungleichheit wissen wir, dass mindestens 75 der Hunde, die wir probiert haben Gewichte, die zwei Standardabweichungen von den Mittelwerten sind. Zweimal die Standardabweichung gibt uns 2 x 3 61 6. Subtrahieren Sie und fügen Sie diese aus dem Mittelwert von 20. Dies sagt uns, dass 75 der Hunde Gewicht von 14 Pfund zu 26 Pfund haben. Verwendung der Ungleichung Wenn wir mehr über die Verteilung wissen, mit der wir arbeiten, können wir in der Regel garantieren, dass mehr Daten eine bestimmte Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt sind. Wenn wir beispielsweise wissen, daß wir eine Normalverteilung haben, dann sind 95 der Daten zwei Standardabweichungen vom Mittelwert. Chebyshevs Ungleichung sagt, dass in dieser Situation wissen wir, dass mindestens 75 der Daten zwei Standardabweichungen vom Mittelwert sind. Wie wir in diesem Fall sehen können, könnte es viel mehr als dieses 75. Der Wert der Ungleichheit ist, dass es gibt uns ein schlimmer Fall-Szenario, in dem die einzigen Dinge, die wir kennen, über unsere Beispieldaten (oder Wahrscheinlichkeitsverteilung) ist der Mittelwert Und Standardabweichung. Wenn wir nichts anderes über unsere Daten wissen, bietet die Chebyshevs-Ungleichung einen zusätzlichen Einblick in die Ausbreitung des Datensatzes. Geschichte der Ungleichung Die Ungleichheit ist nach dem russischen Mathematiker Pafnuty Chebyshev benannt, der 1874 erstmals die Ungleichung ohne Beweis erhoben hat. Zehn Jahre später wurde die Ungleichheit von Markow in seinem Ph. D. Dissertation. Wegen der Abweichungen, wie man das russische Alphabet auf englisch darstellt, ist es Chebyshev auch geschrieben als Tchebysheff. Worksheet für Chebyshevs Ungleichheit - Lösungen Durch Courtney Taylor. Statistik Expert Chebyshevs Ungleichung sagt, dass mindestens 1 -1 K 2 von Daten aus einer Probe in K Standardabweichungen vom Mittelwert fallen muss, wobei K eine positive reelle Zahl größer als eins ist. Das bedeutet, dass wir die Form der Verteilung unserer Daten nicht kennen müssen. Mit nur der Mittelwert - und Standardabweichung können wir die Datenmenge eine bestimmte Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert bestimmen. Die folgenden sind einige Probleme zu praktizieren, die die Ungleichung verwenden. Lesen Sie weiter unten Eine Version des Arbeitsblattes ohne Lösungen finden Sie hier. Eine Klasse der zweiten Grader hat mittlere Höhe von fünf Fuß mit Standardabweichung von einem Zoll. Mindestens der Prozentsatz der Klasse muss zwischen 410 und 52 liegen. LÖSUNG: Die Höhen, die im obigen Bereich angegeben werden, liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen von der mittleren Höhe von fünf Fuß. Chebyshevs Ungleichung sagt, dass mindestens 1 12 2 61 34 61 75 der Klasse in dem angegebenen Höhenbereich ist. Computer von einem bestimmten Unternehmen werden im Durchschnitt für drei Jahre ohne Hardware-Fehlfunktion, mit Standardabweichung von zwei Monaten dauern. Mindestens welcher Prozentsatz der Computer zwischen 31 Monaten und 41 Monaten lautet. LÖSUNG: Die mittlere Lebensdauer von drei Jahren entspricht 36 Monaten. Die Zeiten von 31 Monaten bis 41 Monaten sind jeweils 52 61 2,5 Standardabweichungen vom Mittelwert. Nach Tschebyscheffs Ungleichheit, mindestens 1 1 (2,5) 6 2 61 84 der Computer letzten von 31 Monaten bis 41 Monate. Bakterien in einer Kultur leben für eine durchschnittliche Zeit von drei Stunden mit einer Standardabweichung von 10 Minuten. Zumindest der Anteil der Bakterien zwischen zwei und vier Stunden LÖSUNG: Zwei und vier Stunden sind jeweils eine Stunde vom Mittelwert entfernt. Eine Stunde entspricht sechs Standardabweichungen. So leben mindestens 1 16 2 61 3536 6197 der Bakterien zwischen zwei und vier Stunden. Lesen Sie weiter unten Was ist die kleinste Anzahl von Standardabweichungen von dem Mittelwert, den wir gehen müssen, wenn wir sicherstellen möchten, dass wir mindestens 50 der Daten einer Verteilung haben. LÖSUNG: Hier verwenden wir die Ungleichung von Chebyshevs und arbeiten rückwärts. Wir wollen 50 61 0.50 61 12 61 1 1 K 2. Das Ziel ist es, die Algebra für K zu lösen. Es ist zu erkennen, daß die Anzahl der Standardabweichungen gleich Null ist. Wir nehmen die Quadratwurzel beider Seiten an, und da K eine Anzahl von Standardabweichungen ist, ignorieren wir die negative Lösung der Gleichung. Dies zeigt, dass K gleich der Quadratwurzel von zwei ist. So sind mindestens 50 der Daten innerhalb von etwa 1,4 Standardabweichungen vom Mittelwert. Die Busroute 25 dauert durchschnittlich 50 Minuten mit einer Standardabweichung von 2 Minuten. Ein Werbeplakat für dieses Bussystem besagt, dass 95 der Zeitbusroute 25 von Minuten zu Minuten dauert. Welche Zahlen würden Sie in die Lücken mit LÖSUNG: Diese Frage ist ähnlich wie die letzte, in denen wir für K lösen müssen. Die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert. Beginnen Sie mit der Einstellung 95 61 0.95 61 1 1 K 2. Dies zeigt, dass 1 - 0.95 61 1 K 2. Vereinfachen, um zu sehen, dass 10.05 61 20 61 K 2. So K 61 4.47. Jetzt drücken Sie dies in den oben genannten Begriffen aus. Mindestens 95 von allen Fahrten sind 4,47 Standardabweichungen von der mittleren Zeit von 50 Minuten. Multiplizieren Sie 4,47 mit der Standardabweichung von 2 bis zum Ende mit neun Minuten. So 95 der Zeit, Buslinie 25 dauert zwischen 41 und 59 Minuten. Erfahren Sie mehr über Chebyshevs Ungleichheit in der Wahrscheinlichkeit
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